프리즘에 의한 굴절_편차각 계산하기_Refraction by a Prism

 

▷프리즘에 의한 굴절 편차각 계산◁

-Refraction by prism and deviation angle-

 

 

이번에는 프리즘에 빛이 입사하였을 때 꺾여서 빛이 빠져나갈 때 생기는 편차각에 대해 수식으로 계산해볼 것이다.

 

 

< Refraction by Prism >

 

 

단색광 (monochromatic light)의 빛이 프리즘을 통과하였을 때 편차각(빗나가는 각)을 다음과 같이 계산할 수 있다.

1) 스넬의 법칙에 의해 다음 식을 형성할 수 있다.

\(\frac{sin\phi_{1}}{sin\phi_{1}'}=\frac{n'}{n}=\frac{sin\phi_{2}}{sin\phi_{2}'}\)

2) 첫 번째 면 (왼쪽 측면)에서 발생하는 편차각 (Deviation angle) 은 \(\beta=\phi_{1}-\phi_{1}'\) 이 된다.

3) 두 번째 면 (오른쪽 측면)에서 발생하는 편차각은  \(\gamma=\phi_{2}-\phi_{2}'\) 이 된다.

4) 전체 편차각 (Total angle of deviation)을 계산할 수 있다.

\(\delta=\beta+\gamma=\phi_{1}-\phi_{1}'+\phi_{2}-\phi_{2}'=\phi_{1}+\phi_{2}-\alpha\)

선이 많아서 헷갈릴 수 있는데, 법선 기준만 잘 찾으면 스넬의 법칙을 사용하여 어렵지 않게 계산할 수 있다.

 

 

 

< Minimum Deviation >

 

 

위 그림은 첫 번째 그림에서 편차각, 즉 벗어나는 각이 최소가 되는 상황이다.

편차가 최소가 되는 각 (the angle of minimum deviation)을 \(\delta_{m}\) 이라고 하자.

편차가 최소가 되어 좌우가 대칭성으로 같다고 놓으면 다음과 같은 관계를 쓸 수 있다.

\(\phi_{1}=\phi_{2}\)  ,  \(\phi_{1}'=\phi_{2}'\)  ,  \(\beta=\gamma\)

그러면 삼각형 두 개가 눈에 보일 것이다. ( ABC, ABN' ) 

위아래 같은 삼각형이 될 것이고 \(\alpha=2\phi_{1}'\)의 관계를 찾을 수 있다.

동시에 \(\delta_{m}=2\beta\) 와 \(\phi_{1}=\phi_{1}'+\beta\) 관계도 찾을 수 있다.

 

\(\alpha=2\phi_{1}'\) -----> \(\phi_{1}'=\frac{1}{2}\alpha\)

\(\delta_{m}=2\beta\)와 \(\phi_{1}=\phi_{1}'+\beta\) 식에서 -----> \(\phi_{1}=\phi_{1}'+\frac{\delta_{m}}{2}\)

따라서 \(\phi_{1}=\frac{1}{2}(\alpha+\delta_{m})\) 을 얻을 수 있다.

 

이 식들을 스넬의 법칙에 의해 정리하면 최소 편차각에 대한 관계식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

\(\frac{sin\phi_{1}}{sin\phi_{1}'}=\frac{n'}{n}=\frac{sin\phi_{2}}{sin\phi_{2}'}\) ------> \(\frac{n'}{n}=\frac{sin\frac{1}{2}(\alpha+\delta_{m})}{sin\frac{1}{2}\alpha}\)

 

 

< Thin prism >

앞서 살펴본 프리즘의 최소 편차각을 아주 얇은 프리즘 (thin prism)이라고 생각하였을 때, 다음과 같이 근사할 수 있다.

\(\frac{n'}{n}=\frac{sin\frac{1}{2}(\alpha+\delta_{m})}{sin\frac{1}{2}\alpha}\approx\frac{\alpha+\delta_{m}}{\alpha}\)

그리고 이 프리즘이 공기중에 있다면 편차각은 \(\delta=(n'-1)\alpha\) 가 된다.

 

이전에 '디옵터 (Diopter)'에 대한 글을 포스팅하면서 디옵터를 프리즘에 관하여 정의 내린 적이 있었다.

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2020/05/16 - [꿀나리의 광학 이야기 ★] - 렌즈의 디옵터란 무엇일까?_디옵터와 시력 척도

렌즈의 디옵터란 무엇일까?_디옵터와 시력 척도

 

위 포스팅에서 사용했던 그림이다. 왼쪽에 파란색이 Thin prism이다.

위 그림은 1 프리즘 디옵터의 힘을 가진 프리즘은 1m 떨어진 곳에서 1cm 꺾인다는 의미이다.

즉 1 diopter는 1m 떨어진 곳에서 1cm 꺾이는 것이다.

 

 

 

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< Risley prism > 

리즐리 프리즘 (Risley prism)은 같은 힘을 가진 두 개의 thin prism을 서로 반대방향으로 회전하여 결합한 것이다.

그림을 보면 삼각형 비슷한 모양이 왼쪽은 위로, 오른쪽은 아래로 향한 것을 볼 수 있다.

이렇게 두 개의 얇은 프리즘이 결합하게 되면, 첫 번째 프리즘을 통과한 빛이 두 번째 프리즘을 통과하면서

편차가 한 번 더 생기게 된다.

 

이를 최종 편차를 합성함으로써 수식적으로 계산할 수 있으며 다음과 같이 표현할 수 있다.

위 그림에서 Resley로 인해 생긴 deviation \(\delta\) 는 합성 값으로 \(\beta\)가 두 프리즘의 사잇각일 때

다음과 같은 관계를 얻을 수 있다.

\(\delta=\sqrt{\delta_{1}^{2}+\delta_{2}^{2}+2\delta_{1}\delta_{2}cos\beta}\)

 

Risley prism의 경우 \(\gamma=\frac{\beta}{2}\)의 관계에서 

\(tan\gamma=\frac{\delta_{2}sin\beta}{\delta_{1}+\delta_{2}cos{\beta}}\) 의 관계식도 얻을 수 있다.

 

Risley prism은 프리즘의 특성으로 FOV (Field of View)를 조정함으로써

beam-steering이나 양안 조절 (binocular accommodation)에 유용하게 활용된다.

 

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