반사와 굴절_ Reflection and Refraction_작도법_기하광학

 

▷기하광학 입문하기_Refraction and Reflection◁

-반사와 굴절 편-

 

Reflection (반사)와 Refraction(굴절)의 법칙은 많이 알고 있을 것이다.

어쩜 철자도 이렇게 비슷한지.

반사와 굴절은 기하광학에서 빛의 경로를 파악하는데 매우 중요하다.

특히 굴절력은 수차에서도 중요하기 때문에 잘 정리하도록 해보자!

 

< Laws of reflection and Refraction ( 반사와 굴절 법칙) >

굴절은 빛이 서로 다른 매질의 경계면 (MM')을 지나면서 빛의 속도가 달라지기 때문에 진행방향이 바뀌는 현상이다.

매질이 n인 곳에서 빛이 입사하여 : 입사광 (Incident ray), 매질이 n'인 곳에서 빛이 굴절된다. : 굴절광 (Refracted ray)

입사광이 반사되어 입사광과 같은 각도로 반사되는 것을 반사광(Reflected ray)이라 한다.

이들 사이에는 반사의 법칙 ( Law of reflection ) : 입사각=반사각 ( \(\phi)\) 

굴절 법칙 ( Law of refraction ) : \(\frac{sin\phi}{sin\phi'}=\frac{n'}{n}=\frac{v}{v'}\)

이 성립한다. 특히 굴절 법칙은 \(n'sin\phi'=nsin\phi\) : 스넬의 법칙 (Snell's law)으로 알려져 있다.

기하광학에서는 근축근사를 곧 잘 사용하는데,

스넬의 법칙에서 입사광과 굴절각이 아주아주 작을 때, \(sin\phi\approx\phi\) 로 근사할 수 있다.

근축근사를 하면 \(\frac{\phi}{\phi'}\approx\frac{n'}{n}\) 을 얻을 수 있다.

 

스넬의 법칙은 페르마의 원리 (최소 시간의 원리)로 Optical path를 사용하여 유도해볼 수 있다.

 

* Fermat's principle ( 페르마 원리 ) *

가장 빠른 시간 안에 갈 수 있는 경로 찾기! : Optical path 가 최소가 되는 값을 구하는 것이다.

먼저, Optical path 식을 이용하여 다음과 같이 식을 구성할 수 있다.

\(\delta=d+n'd'=n[h^{2}+(p-x)^{2}]^{1/2}+n'[h'^{2}+x^{2}]^{1/2}\)

Optical path가 최소일 때를 구하기 위해 미분값을 0일 때로 구하면 된다.

\(\frac{d\delta}{dx}=\frac{n(-p+x)}{[h^{2}+(p-x)^{2}]^{1/2}}+\frac{n'x}{[h'^{2}+x^{2}]^{1/2}}=0\)

\(\frac{n(p-x)}{[h^{2}+(p-x)^{2}]^{1/2}}=\frac{n'x}{[h'^{2}+x^{2}]^{1/2}}\)

\(\frac{n(p-x)}{d}=\frac{n'x}{d'}\) 이 식까지 정리했으면 d와 p-x, d'과 x를 sin으로 바꿔주면 다음과 같이 정리된다.

\(n'sin\phi'=nsin\phi\) : 스넬의 법칙 ( Snell's law )

스넬의 법칙은 Optical path와 페르마의 최소 시간 원리만 기억한다면 쉽게 계산할 수 있다.

 

기하광학에서 스넬의 법칙은 자주 사용하니 꼭 알아두도록 하자!

 

+작도법

아날로그 느낌이지만, 컴퍼스와 자를 사용하여 굴절 방향을 그릴 수 있다.

그리는 방법을 살펴볼 것인데, 방법에 중점을 두었기 때문에 숫자는 정확하게 맞추지 않았다.

1. 원점 O을 찍고, n과 n'을 비율로 컴퍼스를 사용해서 원을 그린다.

( EX : n 이 공기 중, n'이 유리라고 한다면 n은 반지름이 1인 원을, n'은 반지름이 약 1.5인 원을 그린다. )

2. 왼쪽 그림에서 AB 직선, 즉 입사광 선을 원점까지 평행이동해준다. 그러면 n과 n' 원과의 교점이 생긴다.

3. 교점 R에서 법선 (NN')을 그려준다. 그러면 n'원과의 교점 R'이 생긴다.

4. OR'을 다시 왼쪽 그림에 평행이동해주면 굴절광 AC를 그릴 수 있다.

오른쪽 그림에 스넬의 법칙을 적용시켜보면 \(\beta=\phi-\phi'\) 

\(\frac{OR}{sin\phi'}=\frac{OR'}{sin(\pi-\phi)}\)

 OR은 n에 비례하고, OR'은 n'에 비례하므로

\(n'sin\phi'=nsin\phi\) : 스넬의 법칙 ( Snell's law ) 이 적용된 것을 확인할 수 있다.

 

집에 컴퍼스와 자, 그리고자 하는 열정만 있다면 직접 해봐도 좋을 것 같다!

 

반사와 굴절_스넬의 법칙_작도법_기하광학