수차의 3차 이론_3rd order theory of aberration

 

 

▷Third order theory of aberration◁

 

이번 글은 Ray tracing formula를 알고 있다는 전제하에 살펴보도록 하겠다.

혹시 Ray tracing formula를 모른다고 하면 다음 글을 먼저 보고 오도록 하자.

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2020/06/10 - [꿀나리의 광학 이야기 ★] - Ray tracing formula_실제 시스템에서 광선 추적 공식 구하기

Ray tracing formula_실제 시스템에서 광선 추적 공식 구하기

 

일반적으로 렌즈 공식, 렌즈 제작자 공식을 유도할 때 우리는 근축광선(Paraxial ray)을 적용하였다.

근축광선을 적용하면 \(sin\theta \approx \theta\) 이러한 근사식을 사용하게 되는데,

이 식을 사용하면 간단하게 이미지의 위치 및 크기를 계산할 수 있다.

하지만 Ray tracing에서 알아보았듯이, 실제 시스템에서는 근축광선을 적용하면 계산 값이 벗어나는 영역이 생기게 된다.

그래서 우리는 근축광선을 사용하지 않는 Ray tracing formula를 확인했다.

ray tracing의 example도 살펴보았는데, h=0에서(근축광선) 벗어날수록 Image distance가 벗어나는 것을 확인했다.

( 높이 h가 높아질수록 렌즈 공식이 잘 맞지 않는 것을 확인했다.)

 

 

기존에 사용했던 렌즈 공식은 근축광선을 적용했던 아래의 공식을 사용했었다.

\(\frac {n}{s}+\frac {n'}{s'}=\frac {n'-n}{r}\)

위 공식은 First order theory가 된다.

 

이 부분을 자세하게 살펴보도록 하자.

먼저, 근축광선을 적용하지 않고 실제 시스템(real system)에서 구했던 공식을 살펴보자.

-Ray tracing formula-

(1) \(sin\phi=\frac {r+s}{r} sin\theta\)

(2) \(sin\phi'=\frac {n}{n'} sin\phi\)

(3) \(\theta'=\phi'+\theta-\phi\)

(4) \(s'=r-r\frac {sin\phi'}{sin\theta'}\)

 

위 식들은 Real System의 formula이다. 그러면, 이 공식에 근축광선을 적용해보자.

공식은 sine 함수를 구성하고 있다. 근사식을 사용하기 위해 아래의 맥클로린 급수(Maclaurin series) 다항식을 확인해보자.

\(sin\theta \approx \theta-\frac {\theta^{3}}{3!}+\frac {\theta^{5}}{5!}-\dots\) : 맥클로린 급수(Maclaurin series)

sine 함수의 맥클로린 급수 다항식에 근축광선을 적용하면 첫 번째 항까지만 고려하여 \(sin\theta=\theta\)이 된다.

이 식을 Ray tracing formula에 적용하여 Paraxial ray에 대한 관계식을 구하면 아래와 같이 표현된다.

 

-Paraxial ray-

(1) \(\phi=\frac {r+s}{r}\theta\)

(2) \(\phi'=\frac {n}{n'}\phi\)

(3) \(\theta'=\phi'+\theta-\phi\)

(4) \(s'=r-r\frac {\phi'}{\theta'}\)

 

이 근축광선 식(Paraxial ray formula)을 사용해서 구한 것이 \(\frac {n}{s}+\frac {n'}{s'}=\frac {n'-n}{r}\)

First order theory가 된다.

당연히 첫 번째 항까지만 근사 시키고, 뒤에 부분을 고려하지 않았기 때문에 차이가 발생하게 된다.

우리는 이 차이를 ray tracing example에서 확인했었던 것이다.

즉, 근축광선(h=0)에서 벗어나 h=6cm의 광선에 \(\frac {n}{s}+\frac {n'}{s'}=\frac {n'-n}{r}\)을 적용하면 맞지 않게 된다.

 

 

수차의 3차 이론(Third order theory of abberation)은 \(sin\theta \approx \theta-\frac {\theta^{3}}{3!}+\frac {\theta^{5}}{5!}-\dots\)의 세 번째 항\(sin\theta = \theta-\frac {\theta^{3}}{3!}\)까지 고려해주는 것을 의미한다.

혹시나 '\(-\frac {\theta^{3}}{3!}\)는 항인데 왜 세 번째 항이냐?'

라고 생각하는 사람들이 있을 수 있어서 잠깐 sine 함수의 맥클로린 급수의 전체 모습을 확인하도록 하겠다.

\(sin\theta =0+\frac {cos(0)}{1!}(\theta)+\frac {-sin(0)}{2!}(\theta)^{2}+\frac {-cos(0)}{3!}(\theta)^{3}+\dots\)

위에 식이 전체 모습이며, 정리된 식이 \(sin\theta \approx \theta-\frac {\theta^{3}}{3!}+\frac {\theta^{5}}{5!}-\dots\) 모습이다.

그래서 세 번째 항까지 근사하면 \(sin\theta = \theta-\frac {\theta^{3}}{3!}\)된다.

 

이렇게 3차 항까지 고려하여 계산하면 더 자세하게 확인할 수 있지만, 계산과정이 너무 복잡해진다.

높이가 다르면 광선이 광축과 만나는 point가 달라지면서 수차가 발생하게 되는데, 이때 렌즈의 곡면 때문에 구면수차가 발생하게 될 것을 생각할 수 있다.

그래서 맥클로린의 sine 함수를 고차항까지 고려하면 렌즈의 곡면과 위치 등에 대하여 더욱 상세하게 계산할 수 있고, 렌즈의 곡면, 비축 등으로 인해 발생하는 총 5가지의 단색광 수차를 확인하게 된다.

이 5가지 수차를 자이델의 5대 수차라고 부르며 다음의 것들이 있다.

Sphterical aberration(구면수차), coma(코마수차), astigmatism(비점 수차), curvature of field, (상면 만곡) distortion(왜곡)

이들의 수차를 직접 계산하면 아주 복잡하겠지만, 

요즘은 광학 소프트웨어(ZEMAX, CODE V, OSLO 등)가 잘 나와서, 이들의 사용법만 익히면 프로그램이 자동으로 돌아간다.

 

+ ZEMAX, CODE V, OSLO, Light Tools를 간략하게 사용해보았었는데, 결상 광학 설계에 특화된 것은 CODE V, OSLO 쪽이었다.

ZEMAX는 결상 광학 설계와 광학 부품을 위한 모델링 형성까지 가능했다.

Light Tools는 보통 모델링 형성에 특화되어 있다고 느꼈다.

개인적인 느낌이지만, 가장 많이 쓰는 것은 CODE V와 Light Tools라고 느꼈다.