Ray tracing and paraxial ray formula_두번째 이야기_공식모음

 

▷두 번째 Ray tracing formula◁

 

이전 글에서 아래의 Ray tracing formula의 6가지 방정식을 소개한 적이 있다.

실제 시스템에서 광선의 경로를 계산하기 위해 사용되는 대표적인 계산법이라고 볼 수 있겠다.

렌즈의 반경, 높이, 크기 등 알고 있는 값을 활용하여 다음 공식의 값을 계산함으로써 Image distance를 찾을 수 있게 된다.

 

(1). \(sin\phi=\frac {r+s}{r} sin\theta\)

(2). \(sin\phi'=\frac {n}{n'} sin\phi\)

(3). \(\theta'=\phi'+\theta-\phi\)

(4). \(s'=r-r\frac {sin\phi'}{sin\theta'}\)

(5). \(sin\phi=\frac {h}{r}\)

(6). \(\theta'=\phi'-\phi\)

 

위 공식이 어떻게 나왔는지 궁금하다면 아래 글을 참고하면 좋을 것 같다.

↓↓

2020/06/10 - [꿀나리의 광학 이야기 ★] - Ray tracing formula_실제 시스템에서 광선 추적 공식 구하기

Ray tracing formula_실제 시스템에서 광선 추적 공식 구하기

 

위 글에서는 단일면에서 공식을 확인하였는데, 오늘은 2개의 면에 대하여 ray tracing formula를 확인해보려고 한다.

 

< Ray tracing formula and Paraxial ray >

 

 

1. For surface 1

1st 면의 곡률반경을 \(r_{1}\)이라 하자.

그러면 \(phi_{1}\)을 sine에 대한 관계식으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

(1) \(sin\phi_{1}=\frac {h}{r_{1}}\)

그리고 스넬의 법칙(Snell's law)을 적용하면 1st 면은 n과 n'의 관계이기 때문에 \(sin\phi_{1}'\)에 대하여 다음의 관계식을 얻는다.

(2) \(sin\phi_{1}'=\frac {n}{n'} sin\phi_{1}\)

\(\theta'\)은 편차각에 의해 \(\phi_{1}'-\phi_{1}\)으로 나타낸다.

(3) \(\theta'=\phi_{1}'-\phi_{1}\)

마지막으로 Ray tracing formula에서 구했던 (4) 번 공식을 그대로 적용하면 1st 곡면에 대하여 다음의 식을 얻는다.

(4) \(r_{1}-s_{1}'=r_{1}\frac {sin\phi_{1}'}{sin\theta'}\)

 

2. For surface 2

2nd 곡면에 대한 방정식도 같은 방식으로 구할 수 있기 때문에 다음의 방정식이 있다는 것만 살펴보도록 하겠다.

(Object의 상대적인 기준만 바뀔 뿐 방식은 똑같다. 렌즈 공식 유도 편에서 다룬 적이 있으니 참고하도록 하자.) 

\(s_{2}'=d-s_{1}'\)

\(sin\phi_{2}'=\frac {r_{2}+s_{2}'}{r_{2}}sin\theta'\)

\(sin\phi_{2}''=\frac {n'}{n''} sin\phi_{2}'\)

\(\theta''=\phi_{2}''+\theta'-\phi_{2}'\)

\(r_{2}-s_{2}''=r_{2}\frac {sin\phi_{2}''}{sin\theta''}\)

 

 

3. For paraxial ray

1st와 2nd에서 구했던 \(\theta'=\phi_{1}'-\phi_{1}\)와  \(\theta''=\phi_{2}''+\theta'-\phi_{2}'\)에 근축광선(Paraxial ray)을 적용하면 다음과 같이 사용할 수 있다.

\(sin\theta'=sin\phi_{1}-sin\phi_{1}'\)

\(sin\theta''=sin\phi_{2}''+sin\theta'-sin\phi_{2}'\)

 

 

<Example>

조건 : Double convex lens, thick 3.0cm, \(r_{1}\)=15.0cm, \(r_{2}\)=-15cm, n=1.62300

입사 광선은 축과 평행하게 입사하는 평행 입사광이다. 바로 앞에서 보았던 그림이 이에 해당한다.

1st곡면에서의 높이 h가 각각 6cm, 4cm, 2cm, 0일 때, Image distance \(s_{2}''\)를 ray tracing formula로 확인해보자.

위 표에는 계산된 값들이 써져있다. 우리가 공식에서 구해야 하는 값, 즉 모르는 값을 알아내기 위해 

주어진 조건의 높이, 반경, 두께 값을 활용할 것이다.

앞에서 formula를 통해서 확인한 관계식들이 표의 relationship 항목에서 다시 한번 확인 가능하다.

그러면 h=6cm, 4cm, 2cm, 0에 대하여 각각의 항목을 계산할 수 있다.

관계식에 숫자를 대입하여 구하면 되는 단순 계산이므로 계산과정은 생략하도록 하겠다.

 

높이에 따른 Image distance \(s_{2}''\)의 관계를 확인해보도록 하자.

표의 아래에서 두 번째 줄을 보면, \(s_{2}''\)의 계산된 값이 보인다.

그리고 높이가 낮아질수록 차이가 벌어지면서 뒤로 밀려나는 것을 확인할 수 있다.

이를 다르게 말하면, 근축광선에서 멀어질수록 어긋난다고 표현할 수 있겠다.

h=0cm에서 근축광선을 적용할 수 있으며, 이때 값은 11.519997이다. 

그런데 h=0cm에서 벗어날수록 11.1155513, 9.7278596, 6.4281571로 차이가 발생하고 있다.

h=0에서 구한 \(s_{2}''\) 값 11.519997은 이전에 렌즈의 초점이라고 알고 있었던 값이었다.

이러한 차이가 발생하기 때문에 근축광선을 실제 시스템에서 적용하는 데는 한계가 있게 되고, ray tracing으로 계산하게 된다.

 

렌즈를 설계할 때, 반경, 크기, 간격 등을 계산하여 광선 경로의 최적의 상태를 찾는 것이 중요하다.

하지만 이를 직접 계산하여 찾아내는 것은 많은 시간이 걸리게 된다.

이러한 계산시간을 단축시키는데 활용되는 소프트웨어 프로그램이 있다.

광학 설계 프로그램으로 잘 알려진, CODE V, ZEMAX, OSLO 등을 사용하여 최적화시킴으로써 계산시간을 단축시킬 수 있다.