렌즈 공식 유도_Derivation of the lens formula_Thin lens_Power notation

 

▷Derivation of the lens formula◁

-렌즈 공식 유도-

이번 글은 Thin lens에 대한, 렌즈 공식과 렌즈 제작자 공식(lens makers' formula), 2가지에 관하여 알아볼 것이다.

가우시안 공식(Gaussian formula)과 Conjugate 관계를 알고 있다는 가정하에 접근하도록 하겠다.

 

혹시 이부분에 대한 이해가 부족하다면 먼저 다음 내용을 확인하면 좋을 것 같다.

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2020/06/02 - [꿀나리의 광학 이야기 ★] - 가우시안 공식_배율_Gaussian Formula_Magnification_Conjugate points and planes

가우시안 공식_배율_Gaussian Formula_Magnification_Conjugate points and planes

 

< lens formula >

 

이전에 가우시안 공식에 대하여 포스팅한적 있는데, 비슷한 방식으로 삼각형의 닮음을 이용하여 관계식을 유도한다.

(렌즈 양면을 모두 n=1 임을 가정하고 진행한다. )

1. △Q'TS 와 △F'TA ---> \(\frac{y-y'}{s'}=\frac{y}{f'}\)

2. △QTS와△FTA ---> \(\frac{y-y'}{s}=\frac{-y'}{f}\)

삼각형의 닮음에서 위 두 개의 식을 얻을 수 있다. 이 식을 합하면 다음 관계식을 얻는다.

\(\frac{y-y'}{s}+\frac{y-y'}{s'}=\frac{y}{f'}-\frac{y'}{f}\) 

이때 제1초점과 제2초점이 같은 경우, 즉 symmetry 한 경우 다음과 같이 가우시안 형태를 얻는다.

\(f=f'\) --------> \(\frac{1}{s}+\frac{1}{s'}=\frac{1}{f}\) : Gaussian form

 

그리고 다른 삼각형에서 또 다른 식을 얻을 수 있다.

△TAF'와△F'M'Q, △QMF와△FAS ---> \(\frac{y}{x}=-\frac{y'}{f}\) 와 \(\frac{-y'}{x'}=\frac{y}{f}\)

관계를 얻을 수 있고, 최종적으로 이들을 정리하여

굴절률에 대한 정보가 없을 경우에 활용할 수 있는 다음의 식을 얻을 수 있다.

\(xx'=f^{2}\) : Newtonian form 

그리고 lens의 양면에 있는 매질이 다를 경우 \(xx'=ff'\) 로 쓰인다.

( 제1표면 부분의 매질과 제2표면 부분의 매질이 다를 경우를 의미한다. )

 

-삼각형의 닮음비가 잘 안 보일 때 참고하도록 하자.-

 

물체와 이미지 크기의 비율인 배율(Magnification)은 다음과 같이 구할 수 있다.

배율(Magnification) : \(m=\frac{y'}{y}=-\frac{f}{x}=-\frac{x'}{f}\)

 

 

 

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< Lens makers' formula >

지금까지 제1표면과 제2표면이 같다는 가정하에 진행하였는데, 이번에는 이 두 부분의 다름을 고려하여

렌즈를 제작할 경우에 대한 렌즈 제작자 공식에 관한 내용이다.

방법은 똑같지만 문자와 영역에 대한 구분이 헷갈리면 식을 도출하다가 길을 잃게 될 수 있음에 유의하자.

* \(A_{1}=A_{2}=A\) : 근사적으로 같다고 가정한다. *

 

1. 1st 표면에 MT1이 입사된다. T1은 1st표면에서 굴절된 후, M의 conjugate point M'으로 향한다. ( 빨간색 광선을 실제 빛이 진행하는 경로이며, 지금 고려하는 부분은 2nd를 고려하지 않은 1st 표면에서 굴절된 광선임을 유의하자.)

그러면 1st표면에 대한 빛은 single spherical surface에 해당하므로 (단일 구표면)

가우시안 공식을 적용하여 다음의 식을 얻을 수 있다.

　㉠ : \(\frac {n}{s_{1}}+\frac {n'}{s_{1}'}=\frac {n'-n}{r_{1}}\) : Gaussian equation

 

2. 이제 2nd 표면을 기준으로 보았을 때, T2에서 굴절된 빛이 M''으로 향한다. 이 때, 2nd 표면에 대해서 

object distance로써 \(s_{2}'\), Image distance로써 \(s_{2}''\)을 갖는다.

이 부분이 이해가 안 되거나 헷갈릴 수 있다. 조금 더 내용을 덧붙이자면,

1번에서 진행하면서 T1의 빛의 M'으로 향하였는데, 2nd 표면을 기준으로 고려하였을 때,

T2입장에서는 T1의 conjugate point M'가 Object 역할을 하면서,

2nd 기준점 A2와 M' 사이의 거리인 \(s_{2}'\)을 object distance로 보게 된 것이다.

( 즉 T1의 Image point가 T2의 Object point가 된 것이다. )

Image point에 대한 부분은 T2에 의한 것이기 때문에  \(s_{2}''\)가 되는 것은 이해하기 어렵지 않다.

( 2nd 입장에서 보면 된다. )

그래서 2nd에서 T2의 광선에도 가우시안 공식을 적용하면 다음을 얻을 수 있다.

㉡ : \(\frac{n'}{s_{2}'}+\frac{n''}{s_{2}''}=\frac{n''-n'}{r_{2}}\) : Gaussian equation

 

앞서 가정한 \(A_{1}=A_{2}=A\)에 의해 렌즈 두께는 아주 얇아서 (Thin lens) Object와 Image distance를 근사적으로 같다고 할 수 있다.

㉢ : \(s_{1}' \approx -s_{2}'\) : Image가 Object가 되었기 때문에 (-) 부호가 붙었다.

 

㉠,㉡의 식을 합하면 1st와 2nd에서 진행하는 빛에 관한 식을 얻는다.

\(\frac{n}{s_{1}}+\frac{n'}{s_{1}'}=\frac{n'-n}{r_{1}}\) + \(\frac{n'}{s_{2}'}+\frac{n''}{s_{2}''}=\frac{n''-n'}{r_{2}}\)

위 식을 ㉢에 의해 정리하면 다음 관계를 얻는다.

\(\frac{n}{s_{1}}+\frac{n''}{s_{2}''}=\frac{n'-n}{r_{1}}+\frac{n''-n'}{r_{2}}\) \(\approx \frac{n}{s}+\frac{n''}{s''}=\frac{n'-n}{r_{1}}+\frac{n''-n'}{r_{2}}\)

\(\frac{n}{f}=\frac{n'-n}{r_{1}}+\frac{n''-n'}{r_{2}}=\frac{n''}{f''}\) ---> \(\frac{n''}{n}=\frac{f''}{f}\)

 

만약 렌즈가 둘러싸인 매체가 공기라면 (n=n''=1) 렌즈 제작자의 공식은 아래와 같이 정리된다.

\(\frac{1}{s}+\frac{1}{s''}=(n'-1)(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}})\) : Lens makers' formula

 

간단하게 정리하면 렌즈가 공기 중에 있을 때 렌즈 제작자 공식은 다음과 같다.

\((n-1)(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}})=\frac{1}{f}=\frac{1}{f'}\) : Lens makers' formula (n : 렌즈의 굴절률)

 

 

< The power of Thin lens >

특별한 것은 아니지만, 좀 더 편하게 사용하고자 정한 표기법이 있는데 이를 알아볼 것이다.

간단하게 문자를 치환했다고 생각하면 될 것 같다.

 

1. \(V=\frac{n}{s}\) 와 \(V'=\frac{n'}{s'}\) : Reduced Vergence.

2. \(P=\frac{n}{f}={n'}{f'}\) : Refracting Power.

3. \(K=\frac{1}{r}\) : Curvature of the refracting surface.

 

위 문자의 단위는 거리 요소가 m로 측정되었을 때 Diopter이다.

 

또한 가우시안 공식(Gaussian Formula)에 대해 다음과 같이 표현된다.

\(V+V'=P\) Where \(P=\frac{n'-n}{r}\) or \(P=\frac{n'-n}{K}\)

 

 

이 정보를 가지고 렌즈메이커 공식에 적용해보자.

\(V=\frac{n}{s}\) 와 \(V''=\frac{n''}{s''}\)

\(P_{1}=\frac{n'-n}{r_{1}}\) \(P_{2}=\frac{n''-n'}{r_{2}}\)

Power notation : \(V+V''=P_{1}+P_{2}\) ( \(P_{1}\) : 1st surface,  \(P_{2}\) : 2nd surface )

 

Power of thin lens : \(P=\frac{1}{f}\) \(diopters=\frac{1}{focal length, m}\)

\(P=\frac{1}{f}=(n-1)(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}})\)

 

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